FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA  [SDCTIE GRACELI]   DE INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS ,  DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL .E DE ESTADOS TRANSICIONAIS  GRACELI. =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

Na mecânica quântica e na teoria quântica de campos , o propagador é uma função que especifica a amplitude de probabilidade de uma partícula viajar de um lugar para outro em um determinado tempo, ou viajar com uma certa energia e momento. Nos diagramas de Feynman , que servem para calcular a taxa de colisões na teoria quântica de campos , as partículas virtuais contribuem com seu propagador para a taxa do evento de espalhamento descrito pelo respectivo diagrama. Eles também podem ser vistos como o inverso do operador de onda apropriado para a partícula e, portanto, são frequentemente chamados(causal) As funções de Green (chamadas " causais " para distingui-lo da função elíptica de Laplaciano Green)). ^[1] [2]

Propagadores não-relativísticos [ editar ]

Na mecânica quântica não-relativística, o propagador fornece a amplitude de probabilidade de uma partícula viajar de um ponto espacial de uma vez para outro ponto espacial posteriormente.

Considere-se um sistema com Hamiltoniano H . A função de Green ( solução fundamental ) para a equação de Schrödinger é uma função

$${\ displaystyle G (x, t; x ', t') = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Teta (t-t ') K (x, t; x', t ')}

x

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satisfatório

$${\ displaystyle \ left (i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} - H_ {x} \ right) G (x, t; x ', t') = \ delta (x-x ' ) \ delta (t-t ') ~,}

x

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onde H _x denota o hamiltoniano escrito em termos das coordenadas x , δ ( x ) denota a função delta Dirac , Θ ( t ) é a função passo Heaviside e K ( x , t  ; x ′ , t ′ ) é o núcleo do operador diferencial Schrödinger acima, entre grandes parênteses. O termo propagador às vezes é usado neste contexto para se referir a G e, às vezes, a K. Este artigo usará o termo para se referir a K (cf. princípio de Duhamel ).

Este propagador também pode ser escrito como a amplitude de transição

$${\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ left \ langle x \ mid {\ hat {U}} (t, t ') \ mid x' \ right \ rangle,}

x

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onde Û ( t , t ' ) é o operador unitário de evolução no tempo para o sistema que leva estados no tempo t' para estados no tempo t . Observe a condição inicial imposta por $${\ displaystyle \ lim _ {t \ to t '} K (x, t; x', t ') = \ delta (x-x')}.

O propagador mecânico quântico também pode ser encontrado usando uma integral de caminho ,

$${\ displaystyle K (x, t; x ', t') = \ int \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t} ^ {t '} L ({\ ponto {q}}, q, t) \, dt \ direita] D [q (t)]}

x

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onde as condições de contorno da integral do caminho incluem q ( t ) = x , q ( t ′ ) = x ′ . Aqui L denota o Lagrangiano do sistema. Os caminhos somados se movem apenas para a frente no tempo e são integrados ao diferencial$${\ displaystyle D [q (t)]} que segue o caminho no tempo.

Na mecânica quântica não relativística , o propagador permite encontrar a função de onda de um sistema, dada uma função inicial de onda e um intervalo de tempo. A nova função de onda é especificada pela equação

$${\ displaystyle \ psi (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x ', t') K (x, t; x ', t') \, dx '~ .}

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Se K ( x , t ; x ', t ') depende apenas da diferença x - x ' , esta é uma convolução da função inicial da onda e do propagador.

Exemplos básicos: propagador de partículas livres e oscilador harmônico [ editar ]

Para um sistema invariante de translação no tempo, o propagador depende apenas da diferença de tempo t - t ' , portanto pode ser reescrito como

$${\ displaystyle K (x, t; x ', t') = K (x, x '; t-t').}

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O propagador de uma partícula livre unidimensional , com a expressão de extrema direita obtida por métodos de ponto de sela , é então

$${\ displaystyle K (x, x '; t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dk \, e ^ {ik (x-x ')} e ^ {- {\ frac {i \ hbar k ^ {2} t} {2m}}} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar t}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- {\ frac {m (x-x ') ^ {2}} {2i \ hbar t}}}.}

x

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Da mesma forma, o propagador de um oscilador harmônico quântico unidimensional é o núcleo de Mehler , ^[3] [4]

$${\ displaystyle K (x, x '; t) = \ left ({\ frac {m \ omega} {2 \ pi i \ hbar \ sin \ omega t}} \ right) ^ {\ frac {1} {2 }} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega ((x ^ {2} + x '^ {2}) \ cos \ omega t-2xx')) {2i \ hbar \ sin \ omega t} } \ direita) ~.}

x

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Este último pode ser obtido a partir do resultado anterior de partículas livres, mediante o uso da identidade do grupo de mentiras SU (2) de van Kortryk,

$${\ displaystyle \ exp \ left (- {\ frac {it} {\ hbar}} \ left ({\ frac {1} {2m}} ~ {\ mathsf {p}} ^ {2} + {\ frac { 1} {2}} ~ m \ omega ^ {2} {\ mathsf {x}} ^ {2} \ right) \ right)}

$${\ displaystyle = \ exp \ left (- {\ frac {im \ omega} {2 \ hbar}} ~ {\ mathsf {x}} ^ {2} \ tan \ left ({\ frac {\ omega t} { 2}} \ right) \ right) \ exp \ left (- {\ frac {i} {2m \ omega \ hbar}} ~ {\ mathsf {p}} ^ {2} \ sin \ left (\ omega t \ direita) \ direita) \ exp \ left (- {\ frac {im \ omega} {2 \ hbar}} ~ {\ mathsf {x}} ^ {2} \ tan \ left ({\ frac {\ omega t} {2}} \ right) \ right) ~,}

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válido para operadores $${\ displaystyle {\ mathsf {x}}} e $${\ displaystyle {\ mathsf {p}}} satisfazendo a relação de Heisenberg $${\ displaystyle [{\ mathsf {x}}, {\ mathsf {p}}] = i \ hbar}.

Para o caso N- dimensional, o propagador pode ser simplesmente obtido pelo produto

$${\ displaystyle K ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} '; t) = \ prod _ {q = 1} ^ {N} K (x_ {q}, x_ {q}'; t) ~.}

x

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Veja também: Formulação integral do caminho § Oscilador harmônico simples e Equação do calor § Soluções fundamentais

Propagadores relativísticos [ editar ]

Na mecânica quântica relativística e na teoria quântica de campos, os propagadores são invariantes a Lorentz . Eles dão a amplitude para uma partícula viajar entre dois pontos no espaço-tempo .

Propagador escalar [ editar ]

Na teoria quântica de campos, a teoria de um campo escalar livre (sem interação) é um exemplo útil e simples que serve para ilustrar os conceitos necessários para teorias mais complicadas. Descreve spin zero partículas. Existem vários propagadores possíveis para a teoria de campo escalar livre. Agora descrevemos os mais comuns.

Espaço posição [ editar ]

Os propagadores do espaço de posição são funções de Green para a equação de Klein-Gordon . Isso significa que são funções G ( x , y ) que satisfazem

$${\ displaystyle (\ quadrado _ {x} + m ^ {2}) G (x, y) = - \ delta (xy)}

x

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Onde:

• x, y são dois pontos no espaço-tempo de Minkowski .
• $${\ displaystyle \ square _ {x} = {\ tfrac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}é o operador d'Alembertiano que atua nas coordenadas x .
• δ ( x - y ) é a função delta do Dirac .

(Como é típico em relativistas cálculos teoria quântica de campos, usamos unidades onde a velocidade da luz , c , e constante reduzida de Planck , ħ , estão definidos para a unidade.)

Restringiremos a atenção ao espaço-tempo 4-dimensional de Minkowski . Podemos realizar uma transformação de Fourier da equação para o propagador, obtendo

$${\ displaystyle \ left (-p ^ {2} + m ^ {2} \ right) G (p) = - 1.}

x

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Essa equação pode ser invertida no sentido de distribuições, observando que a equação xf (x) = 1 tem a solução (consulte o teorema de Sokhotski-Plemelj )

$${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x \ pm i \ varepsilon}} = {\ frac {1} {x}} \ mp i \ pi \ delta (x),}

x

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com ε implicando o limite em zero. Abaixo, discutimos a escolha correta do sinal decorrente de requisitos de causalidade.

A solução é

$${\ displaystyle G (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy) }} {p ^ {2} -m ^ {2} \ pm i \ varepsilon}} ~,}

x

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Onde

$${\ displaystyle p (xy): = p_ {0} (x ^ {0} -y ^ {0}) - {\ vec {p}} \ cdot ({\ vec {x}} - {\ vec {y }})}

x

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é o produto interno de 4 vetores .

As diferentes opções de como deformar o contorno de integração na expressão acima levam a várias formas para o propagador. A escolha do contorno é geralmente formulada em termos de$${\ displaystyle p_ {0}} integrante.

O integrando tem dois pólos em

$${\ displaystyle p_ {0} = \ pm {\ sqrt {{\ vec {p}} ^ {2} + m ^ {2}}}}

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escolhas tão diferentes de como evitar isso levam a diferentes propagadores.

Propagadores causais [ editar ]

Propagador retardado [ editar ]

Um contorno no sentido horário sobre os dois pólos fornece o propagador retardado causal . Isso é zero se xy for espacial ou se x ⁰ < y ⁰ (ou seja, se y for o futuro de x ).

Essa escolha do contorno é equivalente ao cálculo do limite ,

$${\ displaystyle G _ {\ text {ret}} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ { 4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {(p_ {0} + i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p}} ^ {2} -m ^ { 2}}} = - {\ frac {\ Theta (xy)} {2 \ pi}} \ delta (\ tau _ {xy} ^ {2}) + \ Theta (xy) \ Theta (\ tau _ {xy } ^ {2}) {\ frac {mJ_ {1} (m \ tau _ {xy})} {4 \ pi \ tau _ {xy}}}}

x

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Aqui

{\ displaystyle \ Theta (x): = {\ begin {cases} 1 & x \ geq 0 \\ 0 & x <0 \ end {cases}}}

é a função de passo Heaviside e

$${\ displaystyle \ tau _ {xy}: = {\ sqrt {(x ^ {0} -y ^ {0}) ^ {2} - ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) ^ {2}}}}

x

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é o momento adequado de x para y e$${\ displaystyle J_ {1}}é uma função de Bessel do primeiro tipo . A expressão$${\ displaystyle y \ prec x}significa que y precede causalmente x que, para o espaço-tempo de Minkowski, significa

{\ displaystyle y ^ {0} <x ^ {0}} e $${\ displaystyle \ tau _ {xy} ^ {2} \ geq 0 ~.}

x

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Essa expressão pode estar relacionada ao valor da expectativa de vácuo do comutador do operador de campo escalar livre,

$${\ displaystyle G _ {\ text {ret}} (x, y) = i \ langle 0 | \ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right] | 0 \ rangle \ Theta (x ^ {0 } -y ^ {0})}

x

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Onde

$${\ displaystyle \ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right]: = \ Phi (x) \ Phi (y) - \ Phi (y) \ Phi (x)}

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é o comutador .

Propagador avançado [ editar ]

Um contorno que gira no sentido anti-horário sob os dois pólos fornece o propagador causal avançado . Isso é zero se xy for espacial ou se x ⁰> y ⁰ (ou seja, se y for o passado de x ).

Essa escolha do contorno é equivalente ao cálculo do limite ^[5]

$${\ displaystyle G _ {\ text {adv}} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ { 4} p \, {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {(p_ {0} -i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p}} ^ {2} -m ^ { 2}}} = - {\ frac {\ Theta (yx)} {2 \ pi}} \ delta (\ tau _ {xy} ^ {2}) + \ Theta (yx) \ Theta (\ tau _ {xy } ^ {2}) {\ frac {mJ_ {1} (m \ tau _ {xy})} {4 \ pi \ tau _ {xy}}}}

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Essa expressão também pode ser expressa em termos do valor da expectativa de vácuo do comutador do campo escalar livre. Nesse caso,

$${\ displaystyle G _ {\ text {adv}} (x, y) = - i \ langle 0 | \ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right] | 0 \ rangle \ Theta (y ^ { 0} -x ^ {0}) ~.}

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Propagador Feynman [ editar ]

Um contorno que passa por baixo do poste esquerdo e por cima do poste direito dá o propagador de Feynman .

Essa escolha do contorno é equivalente ao cálculo do limite ^[6]

{\ displaystyle G_ {F} (x, y) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int d ^ {4} p \ , {\ frac {e ^ {- ip (xy)}} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ delta (s) + {\ frac {m} {8 \ pi {\ sqrt {s}}}} H_ {1} ^ {(1)} (m {\ sqrt {s}}) s \ geq 0 \\ - {\ frac {im} {4 \ pi ^ {2} {\ sqrt {-s}}}} K_ {1} (m {\ sqrt {-s}}) & s <0 \ end {cases}}}

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Aqui

$${\ displaystyle s: = (x ^ {0} -y ^ {0}) ^ {2} - ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) ^ {2},}

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onde x e y são dois pontos no espaço-tempo de Minkowski e o ponto no expoente é um produto interno de quatro vetores . H ₁ ⁽¹⁾ é uma função de Hankel e K ₁ é uma função de Bessel modificada .

Essa expressão pode ser derivada diretamente da teoria do campo, já que o valor da expectativa de vácuo do produto ordenado por tempo do campo escalar livre, ou seja, o produto sempre é utilizado para que a ordem temporal dos pontos do espaço-tempo seja a mesma,

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} G_ {F} (xy) & = - i \ langle 0 | T (\ Phi (x) \ Phi (y)) | 0 \ rangle \\ [4pt] & = - i \ left \ langle 0 | \ left [\ Theta (x ^ {0} -y ^ {0}) \ Phi (x) \ Phi (y) + \ Theta (y ^ {0} -x ^ {0}) \ Phi (y) \ Phi (x) \ right] | 0 \ right \ rangle. \ End {alinhado}}}

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Esta expressão é Lorentz invariante , enquanto os operadores de campo comutar um com o outro quando os pontos x e y são separados por um tipo espaço intervalo.

A derivação usual é a de inserir um conjunto completo de estados de momento de partícula única entre os campos com Lorentz normalização covariante, e para, em seguida, mostram que os q funções que fornecem o tempo pedidos causal pode ser obtido por um integrante contorno ao longo do eixo de energia, se o O integrando é como acima (daí a parte imaginária infinitesimal), para mover o pólo da linha real.

O propagador também pode ser derivado usando a formulação integral do caminho da teoria quântica.

Propagador de espaço de momento [ editar ]

A transformação de Fourier dos propagadores de espaço de posição pode ser considerada como propagadora no espaço de momento . Estes assumem uma forma muito mais simples que os propagadores de espaço de posição.

Eles são frequentemente escritos com um termo ε explícito, embora seja entendido como um lembrete sobre qual contorno de integração é apropriado (veja acima). Este termo ε é incluído para incorporar condições de contorno e causalidade (veja abaixo).

Para um momento 4 p, os propagadores causais e de Feynman no espaço de momento são:

$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {ret}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} + i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}}

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$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ text {adv}} (p) = {\ frac {1} {(p_ {0} -i \ varepsilon) ^ {2} - {\ vec {p} } ^ {2} -m ^ {2}}}}}

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$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {F} (p) = {\ frac {1} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.}

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Para fins dos cálculos do diagrama de Feynman, geralmente é conveniente escrevê-los com um fator geral adicional de −i (as convenções variam).

Mais rápido que a luz? [ editar ]

O propagador de Feynman tem algumas propriedades que parecem desconcertantes a princípio. Em particular, diferentemente do comutador, o propagador é diferente de zero fora do cone de luz , embora caia rapidamente por intervalos espaciais. Interpretado como uma amplitude para o movimento das partículas, isso se traduz na partícula virtual que viaja mais rápido que a luz. Não é imediatamente óbvio como isso pode ser reconciliado com a causalidade: podemos usar partículas virtuais mais rápidas que a luz para enviar mensagens mais rápidas que a luz?

A resposta é não: enquanto na mecânica clássica os intervalos ao longo dos quais partículas e efeitos causais podem viajar são os mesmos, isso não é mais verdade na teoria quântica de campos, onde são os comutadores que determinam quais operadores podem se afetar.

Então, o que representa a parte espacial do propagador? Na QFT, o vácuo é um participante ativo, e os números de partículas e os valores de campo são relacionados por um princípio de incerteza ; os valores do campo são incertos, mesmo para o número de partículas zero . Existe uma amplitude de probabilidade diferente de zero para encontrar uma flutuação significativa no valor de vácuo do campo Φ ( x )se for medido localmente (ou, para ser mais preciso, se for medido um operador obtido calculando a média do campo em uma pequena região). Além disso, a dinâmica dos campos tende a favorecer flutuações espacialmente correlacionadas em certa medida. O produto ordenado por tempo diferente de zero para campos separados por espaço, mede apenas a amplitude de uma correlação não-local nessas flutuações de vácuo, análoga a uma correlação EPR . De fato, o propagador é freqüentemente chamado de função de correlação de dois pontos para o campo livre .

Uma vez que, pelos postulados da teoria quântica de campos, todos os operadores observáveis ​​se comunicam na separação espacial, as mensagens não podem mais ser enviadas por essas correlações do que por qualquer outra correlação EPR; as correlações estão em variáveis ​​aleatórias.

Em relação às partículas virtuais, o propagador na separação espacial pode ser considerado um meio de calcular a amplitude para criar um par virtual de partículas e antipartículas que eventualmente desaparece no vácuo, ou para detectar um par virtual emergindo do vácuo. Na linguagem de Feynman , esses processos de criação e aniquilação são equivalentes a uma partícula virtual vagando para trás e para frente no tempo, o que pode levá-la para fora do cone de luz. No entanto, nenhuma sinalização de volta no tempo é permitida.

Explicação usando limites [ editar ]

Isso pode ser esclarecido escrevendo o propagador da seguinte forma para um fóton sem massa,

$${\ displaystyle G_ {F} ^ {\ varepsilon} (x, y) = {\ frac {\ varepsilon} {(xy) ^ {2} + i \ varepsilon ^ {2}}} ~.}

x

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Essa é a definição usual, mas normalizada por um fator de $${\ displaystyle \ varepsilon}. Então a regra é que só se aceita o limite$${\ displaystyle \ varepsilon \ rightarrow 0} no final de um cálculo.

Vê-se que

$${\ displaystyle G_ {F} ^ {\ varepsilon} (x, y) = {\ frac {1} {\ varepsilon}}}   E se   $${\ displaystyle (xy) ^ {2} = 0}

x

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e

$${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} G_ {F} ^ {\ varepsilon} (x, y) = 0}   E se   $${\ displaystyle (xy) ^ {2} \ neq 0}

x

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Portanto, isso significa que um único fóton permanecerá sempre no cone de luz. Também é mostrado que a probabilidade total de um fóton a qualquer momento deve ser normalizada pelo inverso do seguinte fator:

$${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int \ left | G_ {F} ^ {\ varepsilon} (0, x) \ right | ^ {2} \, dx ^ {3} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} \ int {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {(\ mathbf {x} ^ {2} -t ^ {2}) ^ {2} + \ varepsilon ^ {4}} } \, dx ^ {3} = 2 \ pi ^ {2} | t | ~.}

x

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Vemos que as partes fora do cone de luz geralmente são zero no limite e são importantes apenas nos diagramas de Feynman.

Propagadores nos diagramas de Feynman [ editar ]

O uso mais comum do propagador é no cálculo de amplitudes de probabilidade para interações de partículas usando diagramas de Feynman . Esses cálculos geralmente são realizados no espaço de momento. Em geral, a amplitude recebe um fator do propagador para cada linha interna , ou seja, toda linha que não representa uma partícula de entrada ou saída no estado inicial ou final. Também obterá um fator proporcional e similar na forma a um termo de interação no Lagrangiano da teoria para cada vértice interno onde as linhas se encontram. Essas prescrições são conhecidas como regras de Feynman .

Linhas internas correspondem a partículas virtuais. Como o propagador não desaparece devido a combinações de energia e momento não permitidas pelas equações clássicas do movimento, dizemos que é permitido que as partículas virtuais estejam desprotegidas . De fato, como o propagador é obtido invertendo a equação da onda, em geral, ele terá singularidades na casca.

A energia transportada pela partícula no propagador pode até ser negativa . Isso pode ser interpretado simplesmente como o caso em que, em vez de uma partícula ir para um lado, sua antipartícula está indo para o outro lado e, portanto, carregando um fluxo oposto de energia positiva. O propagador abrange as duas possibilidades. Isso significa que é preciso ter cuidado com os sinais de menos para o caso dos férmions , cujos propagadores nem sequer funcionam na energia e no momento (veja abaixo).

Partículas virtuais economizam energia e momento. No entanto, como eles podem estar fora da concha, onde quer que o diagrama contenha um loop fechado , as energias e o momento das partículas virtuais que participam do loop serão parcialmente irrestritas, pois uma alteração na quantidade de uma partícula no loop pode ser equilibrada. por uma mudança igual e oposta em outra. Portanto, todo loop em um diagrama de Feynman requer uma integral ao longo de um continuum de possíveis energias e momentos. Em geral, essas integrais de produtos de propagadores podem divergir, uma situação que deve ser tratada pelo processo de renormalização .

Outras teorias [ editar ]

Rotação ¹ / ₂ [ editar ]

Se a partícula possui rotação , seu propagador é geralmente um pouco mais complicado, pois envolverá os índices de rotação ou polarização da partícula. A equação diferencial satisfeita pelo propagador para uma rotação ¹ / ₂ de partículas é dado por ^[7]

$${\ displaystyle (i \ not \ nabla '-m) S_ {F} (x', x) = I_ {4} \ delta ^ {4} (x'-x),}

x

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onde I ₄ é a matriz unitária em quatro dimensões e empregando a notação de barra de Feynman . Esta é a equação de Dirac para uma fonte de função delta no espaço-tempo. Usando a representação do momento,

$${\ displaystyle S_ {F} (x ', x) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ exp {\ left [-ip \ cdot ( x'-x) \ right]} {\ tilde {S}} _ {F} (p),}

x

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a equação se torna

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & (i \ not \ nabla '-m) \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ tilde S }} _ {F} (p) \ exp {\ left [-ip \ cdot (x'-x) \ right]} \\ [6pt] = {} & \ int {\ frac {d ^ {4} p } {(2 \ pi) ^ {4}}} (\ não pm) {\ tilde {S}} _ {F} (p) \ exp {\ left [-ip \ cdot (x'-x) \ right ]} \\ [6pt] = {} & \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} I_ {4} \ exp {\ left [-ip \ cdot (x'-x) \ right]} \\ [6pt] = {} & I_ {4} \ delta ^ {4} (x'-x), \ end {alinhado}}}

x

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onde no lado direito é usada uma representação integral da função delta quadridimensional. portanto

$${\ displaystyle (\ not p-mI_ {4}) {\ til {S}} _ {F} (p) = I_ {4}.}

x

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Multiplicando da esquerda com

$${\ displaystyle (\ não p + m)}

(eliminando matrizes de unidades da notação) e usando propriedades das matrizes gama ,

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ not p \ not p & = {\ frac {1} {2}} (\ not p \ not p + \ not p \ not p) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} (\ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} p ^ {\ nu} + \ gamma _ {\ nu} p ^ {\ nu} \ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu}) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} (\ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} + \ gamma _ {\ nu} \ gama {{mu}) p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} \\ [6pt] & = g _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} = p_ {\ nu} p ^ {\ nu} = p ^ {2}, \ end {alinhado}}}

x

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o propagador de momento-espaço usado nos diagramas de Feynman para um campo de Dirac representando o elétron na eletrodinâmica quântica tem forma

$${\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {F} (p) = {\ frac {(\ not p + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = { \ frac {(\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.}

x

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O iε no andar de baixo é uma receita de como lidar com os pólos no complexo p- ₀ . Ele produz automaticamente o contorno de integração de Feynman , deslocando os polos de maneira apropriada. Às vezes está escrito

$${\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {F} (p) = {1 \ over \ gama ^ {\ mu} p _ {\ mu} -m + i \ varepsilon} = {1 \ over \ not p- m + i \ varepsilon}}

x

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abreviado. Deve-se lembrar que esta expressão é apenas uma notação abreviada de ( γ _μ p ^μ - m ) ⁻¹ . "Um over matrix" não faz sentido. No espaço de posição,

$${\ displaystyle S_ {F} (xy) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} \, e ^ {- ip \ cdot (xy)} { \ frac {\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} + m} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}} = \ left ({\ frac {\ gamma ^ {\ mu } (xy) _ {\ mu}} {| xy | ^ {5}}} + {\ frac {m} {| xy | ^ {3}}} \ right) J_ {1} (m | xy |) .}

I

x

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sso está relacionado ao propagador de Feynman por

$${\ displaystyle S_ {F} (xy) = (i \ not \ parcial + m) G_ {F} (xy)}

x

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Onde $${\ displaystyle \ not \ parcial: = \ gama ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu}}.

Rodada 1 [ editar ]

O propagador de um bóson de um calibre em uma teoria de calibre depende da escolha da convenção para consertar o calibre. Para o medidor usado por Feynman e Stueckelberg , o propagador de um fóton é

$${\ displaystyle {-ig ^ {\ mu \ nu} \ over p ^ {2} + i \ varepsilon}.}

x

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O propagador de um campo vetorial massivo pode ser derivado do Lagrangiano de Stueckelberg. O formulário geral com o parâmetro de medida λ lê

$${\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu} - {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {m ^ {2}}} {k ^ {2} -m ^ {2 } + i \ varepsilon}} + {\ frac {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {m ^ {2}}} {k ^ {2} - {\ frac {m ^ {2} } {\ lambda}} + i \ varepsilon}}.}

x

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Com esta forma geral, obtém-se o propagador em bitola unitária para λ = 0 , o propagador em Feynman ou 't Hooft para λ = 1 e em Landau ou Lorenz para λ = ∞ . Também existem outras notações em que o parâmetro gauge é o inverso de λ . O nome do propagador, no entanto, refere-se à sua forma final e não necessariamente ao valor do parâmetro gauge.

Bitola unitária:

$${\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu} - {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {m ^ {2}}} {k ^ {2} -m ^ {2 } + i \ varepsilon}}.}

x

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Medidor de Feynman ('t Hooft):

$${\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu}} {k ^ {2} -m ^ {2} + i \ varepsilon}}.}

x

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Calibre Landau (Lorenz):

$${\ displaystyle {\ frac {g _ {\ mu \ nu} - {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {k ^ {2}}} {k ^ {2} -m ^ {2 } + i \ varepsilon}}.}

x

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Propagador de graviton [ editar ]

O propagador gravitacional do espaço de Minkowski na relatividade geral é ^[8]

$${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta ~ \ mu \ nu} = {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {\ alpha \ beta ~ \ mu \ nu} ^ {2}} {k ^ {2} }} - {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {s} ^ {0} {} _ {\ alpha \ beta ~ \ mu \ nu}} {2k ^ {2}}} = {\ frac { g _ {\ alpha \ mu} g _ {\ beta \ nu} + g _ {\ beta \ mu} g _ {\ alpha \ nu} - {\ frac {2} {D-2}} g _ {\ mu \ nu} g_ {\ alpha \ beta}} {k ^ {2}}},}

x

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Onde $${\ displaystyle D} é o número de dimensões do espaço-tempo, $${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {2}}é o operador de projeção spin-2 transversal e sem rastreamento e$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {s} ^ {0}}é um multipleto escalar spin-0 . O propagador gravitacional do espaço (Anti) de Sitter é

$${\ displaystyle G = {\ frac {{\ mathcal {P}} ^ {2}} {2H ^ {2} - \ Box}} + {\ frac {{\ mathcal {P}} _ {s} ^ { 0}} {2 (\ Box + 4H ^ {2})}},}

x

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Onde $${\ displaystyle H}é a constante do Hubble . Observe que ao tomar o limite$${\ displaystyle H \ a 0} e $${\ displaystyle \ Box \ to -k ^ {2}}, o propagador do AdS se reduz ao propagador de Minkowski. ^[9]

Funções singulares relacionadas [ editar ]

Mais informações: Função de Green (teoria de muitos corpos) e função de Correlação (teoria quântica de campos)

Os propagadores escalares são funções de Green para a equação de Klein-Gordon. Existem funções singulares relacionadas que são importantes na teoria quântica de campos . Seguimos a notação em Bjorken e Drell. ^[10] Ver também Bogolyubov e Shirkov (apêndice A). Essas funções são definidas de maneira mais simples em termos do valor esperado de vácuo dos produtos dos operadores de campo.

Soluções para a equação de Klein-Gordon [ editar ]

Função Pauli-Jordan [ editar ]

O comutador de dois operadores de campo escalar define a função Pauli-Jordan $${\ displaystyle \ Delta (xy)}por ^[10]

$${\ displaystyle \ langle 0 | \ left [\ Phi (x), \ Phi (y) \ right] | 0 \ rangle = i \, \ Delta (xy)}

x

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com

$${\ displaystyle \, \ Delta (xy) = G _ {\ text {adv}} (xy) -G _ {\ text {ret}} (xy)}

x

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Isso satisfaz

$${\ displaystyle \ Delta (xy) = - \ Delta (yx)}

x

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e é zero se {\ displaystyle (xy) ^ {2} <0}.

Positivo e peças de frequência negativos (propagadores de corte) [ editar ]

Podemos definir as partes de frequência positiva e negativa de $${\ displaystyle \ Delta (xy)}, às vezes chamados propagadores de corte, de maneira relativisticamente invariável.

Isso nos permite definir a parte da frequência positiva:

$${\ displaystyle \ Delta _ {+} (xy) = \ langle 0 | \ Phi (x) \ Phi (y) | 0 \ rangle,}

x

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e a parte de frequência negativa:

$${\ displaystyle \ Delta _ {-} (xy) = \ langle 0 | \ Phi (y) \ Phi (x) | 0 \ rangle.}

x

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Estes satisfazem ^[10]

$${\ displaystyle \, i \ Delta = \ Delta _ {+} - \ Delta _ {-}}

e

$${\ displaystyle (\ Box _ {x} + m ^ {2}) \ Delta _ {\ pm} (xy) = 0.}

Função auxiliar [ editar ]

O anti-comutador de dois operadores de campo escalares define $${\ displaystyle \ Delta _ {1} (xy)} função por

$${\ displaystyle \ langle 0 | \ left \ {\ Phi (x), \ Phi (y) \ right \} | 0 \ rangle = \ Delta _ {1} (xy)}

com

$${\ displaystyle \, \ Delta _ {1} (xy) = \ Delta _ {+} (xy) + \ Delta _ {-} (xy).}

Isso satisfaz $${\ displaystyle \, \ Delta _ {1} (xy) = \ Delta _ {1} (yx).}

x

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Funções de Green para a equação de Klein-Gordon [ editar ]

Os propagadores retardados, avançados e de Feynman definidos acima são todas as funções de Green para a equação de Klein-Gordon.

Eles estão relacionados às funções singulares por ^[10]

$${\ displaystyle G _ {\ text {ret}} (xy) = - \ Delta (xy) \ Theta (x_ {0} -y_ {0})}

$${\ displaystyle G _ {\ text {adv}} (xy) = \ Delta (xy) \ Theta (y_ {0} -x_ {0})}

$${\ displaystyle 2G_ {F} (xy) = - i \, \ Delta _ {1} (xy) + \ varepsilon (x_ {0} -y_ {0}) \, \ Delta (xy)}

x

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Onde

$${\ displaystyle \, \ varepsilon (x_ {0} -y_ {0}) = 2 \ Theta (x_ {0} -y_ {0}) - 1.}

x

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